one-math

¶题目

¶代数法

代数法直接刚.

设AC长为1,CD长为$x$,则有:

$$
AD^2=AC2+CD^2-AC \times CD=1+x^2-x
$$

$$
BD^2=BC2+CD^2+BC \times CS=1+x^2+x
$$
再次利用余弦定理,有:
$$
cos \angle A = \frac{AD^2+AC2-CD^2}{2 \times AD \times AC}=\frac{1+1+x^2-x-x2}{2 \times 1 \times \sqrt{1+x^{2-x}}=\frac{2-x}{2\sqrt{1+x}2-x}}
$$
$$
cos \angle B = \frac{BC^2+CD2-BD^2}{2 \times CB \times CD}=\frac{1+1+x^2+x-x2}{2\sqrt{1+x^{2+x}}=\frac{2+x}{2\sqrt{1+x}2+x}}
$$

由于$\angle A=2\angle B$,故:
$$
cos \angle A = 2 cos^2 \angle B -1
$$,故方程如下:

$$
\frac{2-x}{2\sqrt{1+x^2-x}}=2 \times \frac{(2+x)^2}{4(1+x2+x)}-1
$$
,

左右平方,得:

$$
\frac{(2-x)^2}{4 \left(x^{2-x+1\right)}=\left(1-\frac{(x+2)}2}{2 \left(x^{2+x+1\right)}\right)}2
$$
,

再左右同乘$4 \left(x^2-x+1\right) \left(x^2+x+1\right)2$,得

$$
(2-x)^2 \left(x^2+x+1\right)2=4 \left(x^2-x+1\right) \left(x^2+x+1\right)2 \left(1-\frac{(x+2)^2}{2 \left(x^{2+x+1\right)}\right)}2
$$

,化简右边得:

$$
(2-x)^2 \left(x^2+x+1\right)2=\left(x^2-2 x-2\right)^2 \left(x^2-x+1\right)
$$,

左-右相减,得:

$$
(2-x)^2 \left(x^2+x+1\right)2-\left(x^2-2 x-2\right)^2 \left(x^2-x+1\right)=0
$$
,

展开上式,得:

$$
9 x^2 - 6 x^3 - 6 x^4 + 3 x^5 =0
$$,

即一个一元五次方程,其首先$x=1,0$显然为其两个解,且$x=0$为2重根,故进一步因式分解得:

$$
3 (-1 + x) x^2 (-3 - x + x^2)=0
$$,

求解$-3 - x + x^2=0$,得:
$$x= \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{13}\right)(舍去)$$
$$
x = \frac{1}{2} \left(\sqrt{13}+1\right)
$$,

综上,可知x有两个有效解:
$$
x_1 = 1
$$
$$
x_2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{13}+1\right)
$$,

当$x_1=1$时,显然
$$\angle ADB=\frac{\pi}{2}$$,

当$x=\frac{1}{2} \left(\sqrt{13}+1\right)$时:

$$
cos \angle A = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} \left(-\sqrt{13}-1\right)+2\right) <0
$$

$$
cos \angle B = \frac{\frac{1}{2} \left(\sqrt{13}+1\right)+2}{2 \sqrt{\sqrt{13}+5}}
$$

$$
2 cos^2 \angle B -1>0
$$,
说明$x_2$亦为增根,无效.

综上,故只有一种情况,此时$x=1$,$\angle ADB = 90°$.

¶几何法

TODO
尝试使用几何法